PLAN DE ESTUDIOS DE LA LICENCIATURA EN MATEMÁTICA
Primer año
Introducción a la Matemática
Introducción a la Informática
Lógica
Álgebra
Fundamentos de la matemática
Algoritmos I
Estructuras de datos I
Segundo año
Cálculo en una variable
Geometría I
Matemática Discreta
Cálculo en varias variables
Cálculo numérico
Álgebra lineal
Tercer año
Geometría II
Probabilidades
Análisis vectorial
Fundamentos de análisis
Espacios métricos y topológicos
Estructuras algebraicas I
Estadística I
Cuarto año
Estructuras algebraicas II
Estadística II
Variable compleja
Funciones reales
Ecuaciones diferenciales ordinarias
Estructuras algebraicas III
Quinto año
Análisis Funcional
Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
Geometría diferencial
Seminario
Título: LICENCIADO EN MATEMÁTICA
Carga horaria total: 3128 horas reloj
CONTENIDOS MÍNIMOS
Introducción a la matemática
Introducción a la lógica proposicional y teoría de conjuntos. Relaciones binarias y funciones. Los naturales y el principio de inducción completa. Enteros y racionales. La recta real. Funciones básicas. Geometría analítica en el plano
Lógica
Métodos de demostración. Relaciones de equivalencia y de orden. Cardinales y ordinales.
Introducción a la informática
Definición de problemas y descripción de algoritmos. Análisis de los problemas. Enunciados. Objetivos. Entorno controlable y no controlable. Valores de entrada y valores de salida. Proceso. Caja negra. Especificación de un algoritmo. Seudocódigo. Representación de datos. Estructuras de control: secuencia, selección e iteración. Análisis descendente. Máquinas reales y virtuales. Conceptos básicos de Hardware. Funciones y procedimientos. Parámetros formales y reales. Uso de parámetros por referencia y por valor. Interfase con el usuario. Arreglos y matrices. Prueba en máquina de algoritmos.
Álgebra
Números complejos. Polinomios. Factorización sobre los reales y sobre los complejos. Divisibilidad en Z. Congruencia.
Vectores, matrices y sistemas lineales. Estructuras algebraicas. Espacios vectoriales. Subespacios. Generadores. Dependencia lineal. Bases y dimensión. Transformaciones lineales. Núcleo e imagen. Sistemas de ecuaciones para subespacios. Isomorfismos. Matrices inversibles. Matriz de cambio de bases. Cálculo de determinantes. Matrices adjuntas y regla de Cramer. Semejanza de matrices. Diagonalización de matrices.
Fundamentos de la matemática
Sistemas axiomáticos. Intuicionismo, logicismo y formalismo. Construcción de los conjuntos numéricos.
Geometría I
Geometría euclídea elemental. Elementos del triángulo. Construcciones con regla y compás. Resolubilidad. Curvas en el plano. Aplicaciones geométricas. Razón áurea. Curvas clásicas especiales. Máximos y mínimos geométricos. Nociones de geometrías no euclídeas. Taller de resolución de problemas.
Cálculo en una variable
Repaso de la recta real y funciones reales. Completitud de los reales. Límites y continuidad. Derivabilidad. Diferenciales. Variación de funciones. Primitivas e integrales. Fórmula de Taylor.
Sucesiones. Series numéricas.
Matemática discreta
Análisis combinatorio. Relaciones de equivalencia y particiones. Estructuras ordenadas. Álgebras de Boole. Retículos. Introducción a la teoría de grafos y digrafos. Árboles.
Algoritmos I
(Archivos, C)
Algoritmos para archivos secuenciales (apareo, cortes de control, actualización, búsqueda). Métodos para ordenamiento de archivos.
Estructuras de datos I
Abstracción de datos. Modularización. Estructuras de datos incorporadas. Estructuras de datos definidas por el usuario, pilas colas, listas enlazadas. Funcionalidad. Implementación estática. Implementación dinámica. Listas enlazadas dobles. Listas enlazadas circulares. Multies-tructura. Prueba en máquina de algoritmos.
Cálculo en varias variables
Geometría analítica en el espacio. Campos escalares. Límites y continuidad. Derivadas parciales y direccionales. Diferenciabilidad. Gradientes. Espacios tangentes. Fórmula de Taylor. Extremos locales. Extremos condicionados. Integrales dobles y triples. Series de potencias. Series de Fourier. Introducción a las ordinarias.
Cálculo numérico
Aritmética aproximada. Evaluación de funciones. Acotación de errores. Ecuaciones numéricas. Localización de raíces. Aproximación iterativa de raíces localizadas. Ecuaciones polinomiales. Álgebra lineal aproximada. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales algebraicos. Inversión de matrices. Cálculo de autovalores. Interpolación & aproximación. Interpolación polinomial sobre tablas funcionales. Abscisas equidistantes. Diferencias finitas. Abscisas no equidistantes. Diferencias divididas. Aproximación según mínimos cuadrados sobre tablas experimentales. Casos discreto y continuo. Sistemas Ortogonales. Integración & sumación. Fórmulas interpolatorias para integración aproximada. Sumación aproximada de series. Ecuaciones diferenciales. Resolución aproximada de problemas de valores iniciales. Resolución aproximada de problemas de contorno.
Álgebra lineal
Dualidad: Espacios duales. Bases duales. Traspuesta de una transformación lineal. Teorema del rango. Anuladores. Ecuaciones implícitas de subespacios. Sumas directas. Variedades lineales: conceptos básicos y ejemplos. Paralelismo. Intersecciónd de variedades, variedad generada por otras dos. Ecuaciones implícitas de variedades. Transformaciones afines. Proyecciones afines. Introducción a los espacios euclídeos. Bases ortonormales. Subespacios y variedades ortogonales. Proyecciones ortogonales. Formas de Jordan.
Análisis vectorial
Fórmula de Taylor. Extremos en funcion de varias variables. Teoremas de la función implícita e inversa. Extremos ligados. Integrales múltiples. Cambio de variables. Campos vectoriales. Cálculo diferencial vectorial. Integral de línea. Superficies parametrizadas. Area de una superficies. Integrales de superficie de funciones vectoriales. Teoremas integrales del análisis vectorial
Fundamentos de análisis
Repaso de las definiciones y conceptos básicos del cálculo.
Demostración de los teoremas presentados en Cálculo en una y en varias variables. Taller de resolución de ejercicios teóricos.
Probabilidades
Experimento aleatorio. Espacio muestral. Suceso aleatorio. La medida de la probabilidad. Probabilidades totales, compuestas y teorema de Bayes. Variable aleatoria, discreta, continua y mixta. Función de densidad. Función de distribución. Esperanza matemática. Varianza y desvío standard. Suma de variables aleatorias. La ley de los grandes números. Convergencia en probabildad. Teorema central del Límite.
Variables aleatorias bidimensionales. Función de probabilidad conjunta y distribuciones marginales. Independencia entre variables aleatorias. Distribuciones condicionales. Distribuciones multivariadas.
Covarianza. Coeficiente de correlación lineal. Esperanza y varianza condicional
Geometría II
Orientación en los espacios euclídeos n-dimensionales: definición y propiedades básicas, automorfismos directos, caracterización mediante el signo de sus determinantes. Productos vectoriales.
Transformaciones ortogonales. Los grupos ortogonales o(n) y so(n). Estudio específico de o(2) y o(3): rotaciones y reflexiones en el plano y en el espacio.
Grammianos: definición y propiedades básicas. Interpretación geométrica de los determinantes reales (II): volúmenes n-dimensionales. Acciones de grupos. Concepto de geometría: Geometrías euclídeas y no euclídeas.Geometría Proyectiva. Cuádricas afines y euclídeas.
Espacios métricos y topológicos
Secuencia: espacios euclídeos, normados, métricos y topológicos. Definición general de espacio topológico y conceptos básicos relacionados (entornos, interior, frontera, adherencia, bases de abiertos). Funciones continuas y homeomorfismos. Subespacios y espacios productos. Compacidad y conexidad. Los espacios euclídeos, normados y métricos como espacios topológicos.
Los números reales como cuerpo totalmente ordenado y completo. Topología usual de la recta. Espacios métricos y topología usual en R n . Caracterización de conjuntos de números reales conexos. Homeomorfismos. Conjuntos arco-conexos. Compacidad en R y R n . Teorema de Heine Borel. Teorema del punto fijo en espacios métricos completos.
Estadística I
Población y muestra. Distribuciones de frecuencias. Medidas de tendencia central. Medidas de variabilidad. Medidas de forma. Estimadores y parámetros. Estimación puntual y por intervalos de confianza. Prueba de hipótesis. Modelo de regresión.
Estructuras algebraicas I
a) Introducción a la teoría de grupos: Operaciones binarias. Leyes de composición interna. Semigrupo. Monoide. Grupo. Subgrupos. Morfismo de grupos. Grupos cíclicos, finitos e infinitos. Grupo de inversibles de Z n . Ecuaciones de congruencia. Función fi de Euler. Permutaciones. Descomposición en ciclos. Clases laterales. Teorema de Lagrange. Subgrupos normales. Grupo cociente.Teoremas de isomorfismo
b) Intrducción a la teoría de anillos: anillos e ideales. Morfismos y anillos cocientes. Dominios de integridad y cuerpos de cocientes. Anillos de polinomios. Dominios de factorización única y dominios euclídeos.
c) Introducción a la teoría de campos: extensiones algebracias y trascendentes
Variable compleja
Funciones de variable compleja. Funciones holomorfas. Teorema de Cauchy. Series de potencias. Serie de Taylor y de Laurent. Cálculo de residuos. Aplicaciones. Problema de Dirichlet en el plano.
Transfsormada de Laplace y aplicaciones.
Estadística II
Análisis de regresión. El modelo de regresión múltiple. La violación de los supuestos del modelo de regresión. Teoría de muestreo
Estructuras algebraicas II
a)Teoría de grupos: acciones y representaciones. Teoremas de Sylow. Series de composición. Teorema de estructura de grupos abelianos. Grupos libres. Presentaciones.
b)Teoría de Galois.
Funciones reales
Teoría de la medida: Integral de Riemann-Stieltjes. Medida de Lebesgue en . Invariancia respecto de traslaciones. Funciones medibles. Convergencia en medida. Integral de Lebesgue.
Ecuaciones dif. ordinarias
Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Técnicas analíticas, cualitativas y numéricas básicas. Existencia y unicidad de la solución. Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de segundo orden y de orden superior. Wronskiano. Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. Teoremas de existencia y unicidad.
Estructuras algebraicas III
a)Dominios de Dedekind
b)Introducción a categorías y funtores
c)Teoría de módulos: módulos noetherianos. Módulos sobre un anillo prinicipal. Módulos libres y proyectivos. Productos tensoriales y álgebra exterior sobre un cuerpo.
Análisis funcional
Espacios de Banach. Teorema de Stone-Weierstrass. Espacios . Espacios de Hilbert. Series y transformación de Fourier. Convolución. Operadores compactos. Operadores autoadjuntos. Descomposición espectral. Ecuaciones integrales.
Ecuaciones dif. en der. parciales
Ecuaciones quasi-lineales de primer orden. Líneas de campo y curvas integrales. Ecuaciones de Laplace y de Poisson. Potenciales armónicos
. Ecuaicones hiperbólicas. Ecuación del calor. Ecuaciones de la cuerda y de la membrana vibrante. Principios básicos del cálculo de variaciones
Geometría diferencial
Teoría de curvas. Longitud de arco. Curvatura y torsión. Triedro de Frenet. Ecuaciones de Frenet-Serret. Teoría de Superficies. Curvatura de Gauss. Ecuaciones de Gauss-Weingarten. Geodésicas. Teorema Egregium de Gauss.
Difeomorfismos en . Inversibilidad local y factorización de morfismos diferenciables en . Subvariedades en . Espacios tangentes. Variedades diferenciables en general. Subvariedades. Morfismos: difeomorfismos, morfismos étales, inmersiones, submersiones, subinmersiones. Fibrados tangentes. Campos y formas. Productos y cocientes. Nociones de geometría riemanniana. Introducción a grupos y álgebras de Lie.
CORRELATIVIDADES
Primer año
Introducción a la Matemática
Introducción a la Informática
Lógica
Álgebra
Fundamentos de la matemática
Algoritmos I
Estructuras de datos I
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-
Introducción a la Matemática
Introducción a la Matemática
Introducción a la lnformática
Introducción a la lnformática
Segundo año
Cálculo en una variable
Geometría I
Matemática Discreta
Cálculo en varias variables
Cálculo numérico
Álgebra lineal
Introducción a la Matemática
Introducción a la Informática - Lógica
Introducción a la Matemática
Cálculo en una variable - Álgebra
Cálculo en una variable - Álgebra
Álgebra - Lógica
Tercer año
Geometría II
Probabilidades
Análisis vectorial
Fundamentos de análisis
Espacios métricos y topológicos
Estructuras algebraicas I
Estadística I
Álgebra lineal – Geometría I
Cálculo en varias variables
Cálculo en varias variables
Cálculo en varias variables - Lógica
Fundamentos de análisis
Álgebra lineal
Probabilidades
Cuarto año
Estructuras algebraicas II
Estadística II
Variable compleja
Funciones reales
Ecuaciones diferenciales ordinarias
Estructuras algebraicas III
Estructuras algebraicas I
Estadística I
Fundamentos de análisis
Espacios métricos y topológicos
Variable compleja
Estructuras algebraicas II
Quinto año
Análisis Funcional
Ecuaciones dif. en der. parciales
Geometría diferencial
Seminario
Funciones Reales
Ec. dif. ordinarias – V. compleja
Est. alg. III – Esp. m. y top.
25 asignaturas
La Universidad Caece tiene más de 40 años de trayectoria reconocida en carreras del campo de la matemática. El nivel de enseñanza de la Matemática en la Universidad Caece es reconocido en todos los ámbitos académicos del país. Este prestigio es la principal carta de presentación de nuestras carreras y motivo de orgullo y de constante esfuerzo de superación.
Alcances del título
El título de Licenciado en Matemática capacita para:
- Ejercer la Docencia Universitaria en las asignaturas matemáticas de los niveles de grado de cualquier carrera universitaria.
- Desempeñar cargos directivos y de coordinación en los Departamentos de Matemática o de otras áreas científicas afines.
- Cumplir funciones de asesoramiento en temas matemáticos en nivel de grado.
- Participar en equipos interdisciplinarios de investigación
